プロローグ

令和6年2月25日――

東京都文京区のT大学本郷キャンパスでは、一般選抜の第2次学力試験が行われていた。

法文2号館大教室は理科一類の受験生の緊張と熱気に包まれていた。午後4時、もうまもなく数学の試験が終わろうとしていた。

神奈川県立A高校3年、下沢悠太(しもざわゆうた)は窮地に追い込まれていた。6問中まだ2問しか解答できていない。数学が頼みの悠太にとっては絶望的だ。

（あと1問解いて半分は取らないと……）

先ほどから素数か回転体か、そのどちらかの問題に狙いを定めているが、双方を行ったり来たり、一向に解決の糸口が見えてこない。

壁時計に目をやると、残り30分を切っていた。

（時間がない！　早く決めるんだ！）

自分に強く言い聞かせ、大きく息を吸い込んだ。

（よし。回転体だ！）

第5問

座標空間内に3点P（1,0,0）Q（0,1,0）R（0,0,1）をとり、Sを線分PRの中点とする。三角形PQSの周および内部をx軸の回りに一回転させて得られる立体の体積を求めよ。

（『令和6(2024)年度東京大学第2次学力試験問題　数学【理科】』）

悠太は、解答欄の冒頭に描いた図に集中した。

三角形PQSをx軸の周りに回転させる……。頭の中で図形を回そうとするが、なかなか形状をイメージできない。図形がx軸に対し斜めに傾いているからだ。ドーナツのように中が空洞になるはずだが……。

回転体の体積は、断面積をxの関数で表し積分するのがセオリーだ。つまり、x軸に垂直な平面x=tで三角形PQSを切ったときの線分を求めて、それをx軸の周りに回転させる。線分の端のx軸から遠いほうが外周、近いほうが内周のドーナツになるはずだが……。

いや、そんなに単純じゃないか……？　x軸と線分の位置関係によっては、そうとは限らない。線分の中点が内周になる場合だってありそうだ。

（落ち着くんだ。イメージじゃなく計算で行け！）

Sの座標は(1/2,0,1/2）、つまりSのx座標は1/2だから、0≦t≦1/2 と1/2≦t≦1で分けて考えよう。そして、三角形PQSの断面形状は、各辺と平面x=tとの交点の座標を割り出したあとx軸との距離を求めればいい。

不意に鼻水が垂れてきた。啜(すす)った。

また、垂れてきた。今度は強く啜った。

次の瞬間、白い答案用紙に鮮血が滴(したた)り落ちた。

（えっ！）

慌てて人差し指を鼻の下にあてがった。左の穴からの出血だった。

許可を得て机の上に出しておいたティッシュを数枚取り、丸めて鼻の穴に押し込んだ。

試験監督員が歩み寄ってきて、「大丈夫ですか？」と書かれたメモ用紙を差し出した。

「あっ、はい」

悠太は短く答え、天井を仰ぎ見た。口で大きく息を吸い込んだ。

心臓が高鳴っていた。血が止まらなかったらどうしよう。

（ああ……？）

気が遠くなるような感じがした。

（しっかりするんだ！）